离散数学（课程教学大纲）

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《离散数学》课程教学大纲

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课程目标及学生应达到的能力

本课程是计算机科学与软件工程的基础性必修课，是研究不同离散量的各自结构、规律及相互关系的一门学科。它在程序设计语言、数据结构、操作系统、软件工程、数据库原理、计算机网络、人工智能、软件设计形式化等方面都有广泛的应用，具有研究性、实践性、创新性强的特点，不仅强调对知识的理解和掌握，还强调方法论的学习。

本课程教学目标是：

课程目标1.使学生接受现代数学关于离散数学的观点，掌握命题逻辑和谓词逻辑、集合、关系和函数、图、树等几类模型的有关概念、基本理论和一定的应用技巧；

课程目标2. 培养、训练并提高学生的问题抽象能力、逻辑推理能力、严格证明的写作技巧、以及利用离散数学模型分析和解决问题的能力等；

课程目标3.使学生理解和体会到解决问题的过程和基本模式——这不仅仅本课程中最有趣的部分，也是最重要的部分。

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课程教学内容和要求

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课堂教学方法

（一）课堂教学环节

建议采用多媒体和板书相结合的教学方式，辅以实体教具，综合采用教师讲授、教师引导、师生交互、学生讨论四种方式进行，学生在课堂上的主动性是递增的：

1. 教师讲授：主要针对比较抽象的新概念和难度较大的技巧；

2. 教师引导：主要针对学生有解决能力、但是没有从正确的角度去思考的问题，由教师引领学生的思路，对学生进行启发；

3. 师生交互：主要针对一些趣味性环节，以问答等方式将学生引入问题，可充分利用多媒体设备和实体教具，以增强学生直观认识；

4. 学生讨论：主要针对学生可以自主解决的问题，学生们一起分析研究、提出解决方案，以相互促进，共同提高，必要时可由教师进行归纳整理和总结提升。

此外，在课程的教学过程中，注重引导学生学习和思考，而非仅仅是对其灌输知识。力争通过多种方式使学生成为教学的主动方，培养学生的学习兴趣和学习动力，变“要我学”为“我要学”。

课堂教学强调整体知识系统的结构，而非零星的知识片断。辅助和指导学生将各个知识点（点），由各个主线（线），通过归纳总结、最终形成完整的完善知识体系结构网（面）。

（二）综合大作业环节

使用课外学时进行，建议主要考察学生对基本概念的理解和掌握以及抽象能力、分析能力和综合应用能力、团队精神和创新素质。采用的方式可以包括问题研究、算法设计、程序设计与实现、小论文等。而且根据学生的实际情况，可将该环节内容分为多个层次，难度较大、更灵活的问题不做全体要求，而仅供有能力和余力的同学有选择地进行。

前两个环节将通过强调方法论：

观察——猜测——举例——总结规律——举例验证规律——修正规律——再举例——再修正——……——给出严格数学证明——应用到实际生活中的问题——问题产生变化——修正规律——举例——……

引导学生学习、思考和实践对问题的抽象、建立模型、解决问题、将所得到的解答如何应用于源问题、在问题发生变化时如何修改模型并继而再次求解的全过程。使学生理解理论到实践、实践验证理论、问题变化是否导致理论框架也跟着变化等过程，进而初步对科学研究的方法论有一定的认识。

以下是部分可供参考的方法论框图。

（三）书面作业环节

建议习题尽量做到少而精，突出层次性和典型性，难度渐进，基础题目和提高题目的比例在7:3左右；并增加选做题目供有余力学生完成。

各知识单元的参考题量和建议题型

（四）自主性和研究性学习实践环节

建议由书面作业选作题目、选作综合大作业、课外专题阅读三部分构成。

书面作业和综合大作业的选作部分难度较大，不对所有学生要求，鼓励有能力和余力的学生通过独立思考完成，可由教师单独辅导，在成绩上有一定程度的奖励。

课外专题阅读可由教师提供课外阅读材料和建议阅读书目，学生可以有选择地阅读，以开拓视野；亦可由教师安排课外时间讲授。

此外建议授课教师将教学内容与科研相结合，鼓励学生选取适合的题目参与大学生创新性实验计划项目等科技活动和竞赛。

采用该教学方法的理由：本课程是大学本科二年级软件工程专业的基础性主干必修课程，是研究不同离散量的各自结构、规律及相互关系的一门学科。它具有研究性、实践性、创新性强的特点，不仅强调对知识的理解和掌握，还强调方法论的学习。

实施：在课程的教学过程中，强调解决问题的过程和基本模式，注重引导学生主动学习和思考。

4

课程考核

参考《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》中“离散数学”部分，本课程考核为百分制，分为两个部分：平时成绩及期末考试成绩，比例为60%和40%，成绩组成多元化，以求全面评价学生。平时成绩包含学习状态、书面作业、综合研究性实践大作业三个组成部分；期末考试采取闭卷方式。

注：迟到三次或旷课两次取消考试资格。

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建议教材及教学参考书

教材：刘铎. 离散数学及应用（第3版）. 清华大学出版社, 2022.

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附录A 参考教学内容与课时安排

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A.1 64课时的参考教学内容与课时安排

64课时情况下的参考教学内容与课时安排可参看表A.1。

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A.2 128课时的参考教学内容与课时安排

128课时情况下的参考教学内容与课时安排可参看表A.2。

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配套参考教材

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《离散数学及应用（第3版）》

作者：刘铎

定价：69元

内容简介

离散数学是现代数学的重要分支，是计算机专业和软件工程专业的基础主干课程，是进一步学习后续课程以及进行研究和开发的基础。本书根据作者多年教学经验编写而成，着重讲解离散数学的基本概念、基本方法及其应用，给出了大量的典型例题和习题以及若干综合专题及应用案例。全书共10章，内容包括朴素集合论、数论基础、计数基础、命题逻辑、谓词逻辑、二元关系、函数、偏序关系与格、代数结构、图论、树、形式语言、自动机与正则表达式。附录给出了离散数学综合性研讨专题。本书结构紧凑，内容精练，体系严谨，语言流畅，讲解详细，可作为高等学校计算机和软件工程专业本科生和研究生的离散数学课程教材，也可供其他专业学生和科技人员阅读参考。

目录

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第1章基础知识/1

1.1集合与序列1

1.1.1集合的基本概念1

1.1.2集合的运算及性质4

1.1.3序列7

习题1.18

1.2数论基础10

习题1.2 14

1.3计数基础16

1.3.1加法法则与乘法法则16

1.3.2排列与组合17

1.3.3鸽巢原理23

1.3.4有限集合的计数——容斥原理26

1.3.5递推关系29

习题1.3 33

1.4布尔矩阵及其运算37

习题1.439

扩展阅读39

第2章命题逻辑/41

2.1命题逻辑的基本概念42

习题2.146

2.2命题公式及其分类47

习题2.250

2.3命题逻辑的等值演算51

习题2.356

2.4对偶与范式57

2.4.1对偶57

2.4.2析取范式与合取范式58

2.4.3主范式60

习题2.466

2.5命题联结词的完备集68

习题2.569

2.6命题逻辑的推理69

习题2.676

扩展阅读77

第3章谓词逻辑/79

3.1谓词与量词80

3.1.1谓词80

3.1.2量词81

习题3.182

3.2谓词公式及分类82

习题3.285

3.3自然语言形式化85

习题3.388

3.4谓词逻辑的等值演算89

习题3.494

3.5前束范式94

习题3.596

3.6谓词逻辑的推理96

习题3.6103

扩展阅读104

第4章二元关系/107

4.1关系及其表示107

4.1.1有序对与笛卡儿积107

4.1.2二元关系的定义109

4.1.3二元关系的表示112

习题4.1114

4.2关系的运算115

4.2.1关系的基本运算115

4.2.2关系的幂和道路119

习题4.2121

4.3关系的性质122

4.3.1关系性质的定义和判断122

4.3.2关系运算对性质的保持126

习题4.3127

4.4关系的闭包129

习题4.4134

4.5等价关系和集合的划分135

4.5.1等价关系、等价类和商集135

4.5.2集合的划分137

4.5.3等价关系与划分的一一对应137

习题4.5138

4.6相容关系与集合的覆盖140

习题4.6141

扩展阅读142

第5章函数/143

5.1函数的定义143

习题5.1145

5.2函数的性质146

习题5.2147

5.3函数的复合148

习题5.3150

5.4逆函数151

习题5.4152

5.5计算机科学中的常用函数153

习题5.5159

5.6双射函数及集合的势160

习题5.6165

扩展阅读165

第6章偏序关系、偏序集与格/167

6.1偏序关系和偏序集167

6.1.1偏序关系和偏序集的定义与性质167

6.1.2积偏序和字典序169

6.1.3哈斯图170

习题6.1172

6.2偏序集中的特殊元素173

6.2.1偏序集中的特殊元素173

6.2.2拓扑排序176

6.2.3有限偏序集的高度与宽度178

习题6.2180

6.3格与布尔代数181

6.3.1格的定义181

6.3.2特殊的格185

6.3.3布尔代数190

习题6.3193

扩展阅读196

第7章代数结构/197

7.1运算与代数结构198

7.1.1运算与代数结构的定义198

7.1.2二元运算的性质200

习题7.1204

7.2群206

7.2.1半群与亚群206

7.2.2群的概念207

7.2.3群的性质209

7.2.4子群210

7.2.5群的同态与同构211

7.2.6循环群213

7.2.7变换群与置换群215

7.2.8陪集与拉格朗日定理217

习题7.2220

7.3环与域224

7.3.1环224

7.3.2域226

习题7.3227

7.4作为代数结构的格与布尔代数228

习题7.4231

扩展阅读231

第8章图论/232

8.1基本概念233

8.1.1无向图、有向图和握手定理233

8.1.2图的同构与子图240

8.1.3道路、回路与连通性242

8.1.4图的矩阵表示244

习题8.1246

8.2欧拉图250

习题8.2254

8.3哈密顿图255

习题8.3261

8.4平面图262

习题8.4269

8.5顶点支配、独立与覆盖271

习题8.5275

8.6匹配275

8.6.1匹配与最大匹配275

8.6.2霍尔定理及其应用280

8.6.3匹配与边覆盖283

8.6.4匹配与点覆盖285

8.6.5二部图中的最佳匹配289

习题8.6292

8.7图的着色295

习题8.7301

8.8网络与流302

8.8.1最大流与最小割302

8.8.2网络流的应用317

习题8.8322

8.9图的连通度324

习题8.9325

扩展阅读325

第9章树及其应用/328

9.1无向树328

习题9.1332

9.2支撑树及其应用333

习题9.2346

9.3最短道路树347

习题9.3351

9.4根树及其应用352

9.4.1根树的定义和基本概念352

9.4.2二叉树的遍历357

9.4.3最优二叉树与霍夫曼编码361

习题9.4364

扩展阅读366

第10章形式语言、自动机与正则表达式/367

10.1语言368

习题10.1371

10.2文法372

习题10.2378

10.3巴科斯诺尔范式和语法图379

习题10.3381

10.4有限状态自动机382

习题10.4388

10.5语言与自动机的关系391

习题10.5393

10.6正则表达式393

习题10.6395

10.7图灵机396

习题10.7399

扩展阅读399

附录A离散数学综合性研讨专题/402

A.1邮资、分油、登阶、台球与波利亚的果园402

A.1.1邮资问题402

A.1.2分油问题404

A.1.3登阶问题408

A.1.4台球问题410

A.1.5波利亚的果园问题412

A.2基于模运算的校验码415

A.2.1EAN13码415

A.2.2国际标准书号416

A.2.3第二代居民身份证416

A.2.4国际标准刊号418

A.3应用鸽巢原理的两个纸牌魔术418

A.3.1纸牌魔术A419

A.3.2纸牌魔术B421

A.4完美洗牌法421

A.5百囚犯问题424

A.615谜题427

A.7Chomp游戏428

A.8安全信息流的格模型431

A.9麻花辫434

A.10伯恩赛德引理与波利亚定理438

A.11顿时错乱问题443

A.12博弈树与决策树447

A.12.1博弈树447

A.12.2决策树449

A.13抽芽游戏与抱子甘蓝游戏453

A.13.1抽芽游戏453

A.13.2抱子甘蓝游戏456

A.14存储器轮458

A.14.1存储器轮及解决方法458

A.14.2德布鲁因序列460

A.15中国邮路问题464

A.16格雷码、超立方体图中的哈密顿道路、九连环和龙曲线467

A.16.1格雷码467

A.16.2超立方体图中的哈密顿道路469

A.16.3九连环与格雷码471

A.16.4龙曲线474

A.17社会网络中的结构平衡475

A.18市场清仓与单品拍卖477

A.19汉诺塔杂谈480

A.19.1汉诺塔图480

A.19.2汉诺塔的非递归算法483

A.19.3汉诺塔与格雷码484

A.19.4汉诺塔与普通二进制码487

A.20谢尔宾斯基三角形488

A.21密码算法简介495

在线附录列表/500

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