2008年全国研究生入学考试数学模拟试题（一）

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　2008年全国硕士研究生入学统一考试

　　全真模拟试题数学一

　　一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

　　（1）当 时， 和 都是关于 的n阶无穷小量，而 + 是关于 的m阶无穷小，则

　　(A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能

　　[ ]

　　（2）设 在 上连续且单调减少，则 在 内

　　　 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值

　　[ ]

　　（3）设周期函数f(x)在 内可导，周期为4，又极限 ，则曲线y=f(x)在点 处的法线斜率为

　　　 (A) (B) 0 　(C) 1 (D)

　　[ ]

　　（4）下列命题中正确的是（ ）

　　(A) 设正项级数 发散，则

　　(B) 设 收敛，则 收敛.

　　(C) 设 ， 至少一个发散，则 发散

　　（D）设 收敛，则 ， 均收敛.

　　[ ]

　　（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为 矩阵，现有4个命题：

　　① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；

　　② 若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

　　③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；

　　④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.

　　则以上命题中正确的是

　　(A) ① ②. 　 (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.

　　[ ]

　　（6）设 阶方阵 ， ， ，

　　记向量组Ⅰ： ，Ⅱ： ，III： .如果向量组III线性相关，则

　　(A) 向量组（Ⅰ）线性相关

　　(B) 向量组（Ⅱ）线性相关

　　(C) 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关

　　(D) 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）至少有一个线性相关

　　[ ]

　　四封信等可能地分别投入三个信箱中去，已知前两封已放入不同信箱，则最后得到不超过两封信在同一信箱的概率为

　　（A） 　（B） （C） 　 （D）

　　[ ]

　　某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则第 次命中目标恰在第 　次 射击时发生的概率为

　　（A） （B） （C） 　（D）

　　[ ]

　　二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

　　（9）已知单位向量 ，与z轴的夹角为钝角，又 ，则 .

　　（10）伯努利方程 的通解为 .

　　（11）设 则 .

　　（12）设幂级数 在x=2处条件收敛，则其收敛域为 .

　　（13）设A为三阶实对称矩阵， 是 的解， 是

　　的解，则常数 .

　　（14）已知 且 ，则

　　三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　　（15）（本题满分10分）

　　已知 ，求 .

　　（16）（本题满分10分）

　　设 在 的某邻域内具有二阶连续导数，曲线 和 具有相同的凹凸性。

证明：曲线 和 在点 处相交、相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当 时， 是比 高阶的无穷小。

　　（17）（本题满分10分）

　　求曲线AB： 的方程，使曲线 与两个坐标轴及过点（x,0） 的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于

　　

　　（18）（本题满分10分）

　　已知 且对任何自然数 .

　　证明：当 时，幂级数 收敛，并求其和函数

　　（19）（本题满分10分）

　　计算　 ，

　　其中 为连续函数，S为平面 在第四卦限部分的上侧.

　　（20）（本题满分11分）

　　设 为四维列向量， 。已知 的通解为

　　其中 为对应齐次线性方程组 的基础解系， 为任意常数。

　　令 ，试求 的通解。

　　（21）（本题满分11分）

　　已知 、 为四阶矩阵，若满足 ，且行列式 ，

　　（1）求 的特征值；（2）证明 可对角化；（3）计算行列式

　　（22）（本题满分11分）

　　设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中 ，又设 。试求

　　（Ⅰ）X的概率密度 和Z的概率密度 ；

　　（Ⅱ）X与Y的相关系数 ；

　　（Ⅲ）在X=0条件下，Y的条件密度 。

　　（23）（本题满分11分）

　　设随机变量X的分布密度为 ，设 来自总体X的简单随机样本，试求

　　（Ⅰ）未知参数 的矩估计量 和最大似然估计量 ；

　　（Ⅱ）验证 ， 是否无偏估计。