第二部分 数学基础能力测试 简答
1．设 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C．0 D．
分析：由于 ， ，
所以 ．
2 ．在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60
米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）．（04）
A . 50 和40 B . 40 和 50 C . 60 和30 D . 30 和60
分析：40和60的最小公倍数是120，在120米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是30 和60．
3 ．某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有－间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）.
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 ．
4 ．甲、乙两种茶叶以x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10
% 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ ）. （04）
A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6
分析：由于 ，所以 ．
5 ．在一条公路上，汽车A 、B 、C 分别以每小时80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B 、车C
从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇两小时后再与车C 相遇，那么甲乙两站相距（ ）. （04）
A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里
分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 ．
6．设 均为正数，若 ，则（ ）．
A． B． C． D．
分析：本题利用代入法最为简单，当 时，正分数 的分子依次增大、分母依次减小，所以 ．
7．实数 在数轴上的位置如下图表示，
图中O为原点，则代数式 （ ）．
A． B． C． D．
分析：因为 ，所以 ．
8．已知 ，且满足 和 ，则（ ）．
A． B． C． D．
分析：由于 ，且 ，所以
当 时， ，
当 时， ，
从而有 ．
或根据 ，也可以推出有 ．
9． 表示 的幅角，今又 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
分析：由于 ，所以 ．
10．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）．
A． B． C． * D．
分析：将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有 种放法，3个空格相连的放法有6种，所求概率为 ．
11．如图，直角 中 为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则 （ ）．（04）
A． B． C． * D．
分析：
如图，根据条件可知，三角形AFE，FED，DCB都是等腰三角形．根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角EFD的大小为2A，角CED的大小为3A，角BDC的大小为4A，所以角A和角B之和为5A，从而
．
12．如图，长方形ABCD由4个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为 ，则正方形EFGH的面积为（ ）．（04）
A． B． C． * D．
分析： 设小正方形的边长是 ，则GC的长度是 ，HB的长度是 ，AD的长度是 ，所以 ，从而 ．
13．在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）．（04）
A．14条 B．13条* C．12条 D．11条
分析：
如图，过P且与直径垂直的弦的长度是 ，这也是过P点的弦中长度最短的，由于直径是过P点的弦中最长的一条，所以过P点的弦中长度为整数的有 条．
注 按本题的问法，考虑到对称性，结果应为24条．但选项中没有这个选项．
14．直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）．（04）
A．x-2y=1* B.x+2y=1 C.2x+y=1 D.2x-y=1
分析：
如图，由于直线 过点 ，这两点关于直线 的对称点分别是 ，故直线 过点 ，所以其方程为 ．
15． 中，AB=5，AC=3， ，该三角形BC边上的中线长是 的函数 ，则当 在 中变化时，函数 取值的范围是（ ）．（04）
A．（0，5） B．（1，4）* C．（3，4） D．（2，5）
分析 ：
如图，当 在 内变化时，BC边上的中线长f(x)的变化范围是 ．
16．如图， 是两个逐段线性的连续函数，设 ，则 的值为（ ）．
A． * B． C． D．
分析：由于 ， ，所以 ．
17.过点 作曲线 的切线，设该曲线与切线及 轴所围成的面积为 ，曲线与直线 及 轴所围成的面积为 ，则（ ）．
A． B．
C． D． *
分析：由于 ， ，所以
18．如下不等式成立的是（ ）．
A．在 区间上，
B．在 区间上， *
C．在 区间上，
D．在 区间上，
分析：令 ，则 ，又 ，所以在 区间上，有 ，即 ．
19．设 为连续函数，且 ，则 （ ）．
A． B． C． * D．
分析：因为,
且 ，所以 ．
20．如图，抛物线 把曲线 与 轴所构成的区域面积分为 与 两部分，则（ ）．
A． B． * C． D． 与 的大小关系与 的数值有关
分析：解 得 ．
21．设 ，则行列式 （ ）．
A． B． C． D．
分析：
22．设 ，则矩阵 中，第3行第2列的元素是（ ）．
A． B． C． D．
分析：因为 ，所以矩阵 中，第3行第2列的元素是
23．若向量 线性无关，而向量 线性相关，则 （ ）．
A． B． C． D．
分析：因为向量 线性相关，所以存在不全为零的 使得，
即 ，又向量 线性无关，故由非零解，从而 ，即 ．
24．设矩阵 ，三阶矩阵 ，且满足 ，则（ ）．
A． ， 的秩 B． ， 的秩
C． ， 的秩 * D． ， 的秩
分析：根据题意可知 有非零解，所以 ，故 ．又由于 ，且 ，所以 的秩 ．
25．下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是（ ）．
A． B． C． D．
分析：与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 应有两个线性无关的特征向量，由于秩 等于2、秩 等于2、
秩 等于1、秩 等于2，所以矩阵 对应于特征值 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵 相似．
(责任编辑：苏琳) | 
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