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阿贝尔的有些发现，比如说同椭圆函数和椭圆积分有关的发现，讲起来很困难，因为要想把他的成果的基本要点阐述得明白准确，需要的定义和概念实在太多了。下面，我们只概略地讲一讲阿贝尔证明一般的高于四次的代数方程用根式求解的不可能性的有关发现。
设给定一个高于四次的一般的代数方程：
a0xn+a1xn-1+...+an=0,
n>4
（34）
正如18-19世纪著名的德国数学家高斯（1777--1855）所指出的那样，这个方程有n
个根，这些根可能是实数根，也可能是复数根，可能相同，也可能不同。
假定方程（34）的根是不相同的，我们应该认为方程的系数是任意的。
我们把具有下面性质的数集P
称为域：
1）如果 a∈P，b∈P，则a+b∈P，ab∈P；
2）如果
a∈P，则-a∈P，a-1∈P（当a≠0时）。
设P是某个域。算得这个域中所有数的平方根，把所有这些根归入这个域，从这样扩充了的集合中顺次利用加，减，乘，除（去掉除以0
）的运算得到的所有的数也同样归入这个域。
所得的新的域称为域P
的根式扩充域。同理，如果取立方根（根式），四次方根（根式）等等，也可以得到根式扩充域。
我们研究方程（34），它的系数属于域P 。假定这个方程有一个用根式表示的根，这意味着，这个根属于由域P
得到的根式扩充域序列中的一个域，而且这个序列中的每一个后面的扩充域是由前一个扩充域得到的。研究这些域会发现，它们和近世代数中诸如群，群的正规子群，商群这样一些很重要的概念有联系。
设有一个任意性质的元素a，b，c...
构成的集合Ω，其中某一个元素同按一定顺序选取的每一对元素a，b相对应，这个元素称为元素a，b的积，记为ab，一般情况下ab≠ba
。
当且仅当以下四个条件成立集合Ω称为群：
1。集合Ω的两个元素的积也属于这个集合：ab=c∈Ω。
2。满足结合律：（ab）c=a（bc）。
3。群的单位元素即元素e是该集合中的一个元素,对于集合中的每一个元素a
满足等式ae=a。
4。对于每一个元素a∈Ω，存在元素a-1∈Ω（逆元素），满足aa-1=e。
如果群的每一个元素a，b满足等式ab=ba，则该群称为可交换群或阿贝尔群。
如果群的元素中的一部分是具有上述的乘法运算的群，则这一部分称为该群的子群。
由一个单独的元素的所有次幂所构成的群称为循环群。
设G 是一个群，H是其中的某个子群。又设g 是G
中的某个确定的元素，h 是子群H 中的任意一个元素。那么，所有形如gh的元素的集合称为子群H 的左陪集，记为gH，其中g 是确定的，而h
遍布整个子集。同理，可以得到右陪集Hg作为形如hg的元素的集合。在一般情况下，左陪集和右陪集彼此不相同，gH≠Hg。如果对于任何一个元素g
，满足gH=Hg（虽然一般来说，gh≠hg），那么子群H 称为群G 的正规子群。
如果两个陪集相乘（即它们的所有元素相乘），就得到一个乘集。这时，群的所有公理都已实现，正规子群本身起着群的单位元素的作用。所得的新的群的元素是陪集。这个新群称为群G
关于正规子群H 的商群，记为G/H 。
容易理解，每一个域就是一个群，域内数的一般乘法就是这个群的乘法运算。域的根式扩充域也是一个群。只是域的元素中应当去掉0
。
如果代数方程可以用根式解，则存在一个根式扩充域的序列，因此也就存在一个子群的序列，这个序列从群G
（即最后一个根式扩充域）开始，以群的单位元素，在这里就是域P 作结束：
G，H1，H2，...。
现在我们引入重要的伽罗华群的概念。设有域P
的某个根式扩充域K 。我们来研究域K 所有可能的自同构，即域的元素到同一个域内的元素的映射，这时，两个元素的和转变为和，两个元素的积转变为积。如果域P
内的元素都转变为自身的元素，那么这些自同构称为关于域P 的自同构。所有自同构的集合是一个群，称为域K 对于域P 的加罗华群，记为G（K，P）
。
加罗华群把用根式可解的方程的每一个根转变为同一个方程的根。如果方程的根不相同（就是说，方程（34）的系数是任意的），那么，由n
个根组成的集合变为同一个集合的变换称为置换。如果把根看作是编有号码的，这样的置换可以记为
| （ |
1 |
2 |
... |
n |
） |
| i1 |
i2 |
... |
in |
其中i1,i2,...in也就是自然数1,2,...n，但一般来说，是某一个别的序列。由n
个元素的全部置换构成的集合是群，称为对称群。在这个群中，元素有n！个。
设有域P
的根式扩充域：
P=L0L1...Li-1Li...Ls=K,
(35)
其中符号表示“包含于”的意思，在这里就是指每一个域是后面一个域的子域。每一个域前一个域的根式扩充域。
我们取每一个子域的加罗华群：
Hi=G（K，Li）。
这样，下面这个子群序列将对应于子域（35）的序列：
e=Hs...HiHi-1...H1H0=G（K,P）
（36）
在这里，每一个群都是后一个群的子群。而且，这个子群还是后一个群的正规子群，而每一个商群Hi-1/Hi
是循环群。
序列（36）存在，则群G（K，P）是可解的。如果只有S=1时，序列（36）才可能存在，则群G（K，P）称为是单一的或不可解的。
于是，如果代数方程用根式可解，那么与之对应的加罗华群是可解的。反之，如果加罗华群是可解的，那么与这个群有关的代数方程就可以用根式解出。
为了证明用根式解一般的代数方程的不可能性，只要确认与方程对应的加罗华群不可解就够了。同时，因为方程是一般方程，即它的系数是任意的，所以可以取由n
个元素构成的相适应的置换群来代替加罗华群，其中n 是方程的次数。
当n≥5，置换群是不可解的，就是说，一般的5
次以上的代数方程用根式是不可解的。
当n≤4，每一个置换群都是可解的，这就是说，不高于4
次的代数方程用根式是可解的。众所周知，由于长期的寻找的结果，它们的解已经找到了。求出这些解还有其他的方法，就是用拉格朗日（1736——1813）的预解法，但在这里我们不写它。
这个定理是由阿贝尔证明出来的，当时他只有22岁。但是，他论证的要点同我们刚才介绍的，以及以后一段时间对已经创立的加罗华理论的所有补充都是不同的。阿贝尔的思想是要证明，对于高于四次的方程来说，如果用由方程的系数利用加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。
阿贝尔的论断与加罗华理论所固有的普遍性没有区别。加罗华理论的普遍性，不仅能够重复阿贝尔的成果，而且前进的比阿贝尔远的多。在一定意义上说，阿贝尔定理是加罗华理论研究中一个附带的成果。加罗华理论不仅使我们有可能证明出用根式解高于四次的代数方程的不可解性，而且能指出一些特殊方程的可解性。
是否可以说，加罗华理论的创立还不是数学的最后结论。这个理论引出了许多其他问题，现代数学家正在研究解决这些问题。
来源:业余数学天地 (责任编辑：汪春) | 
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