求证：p+q≤2

证明  用反证法

设p+q＞2，则q＞2-p，

∴q³＞8-12p+6p²-p³

p³+q³＞8-12p+6p²＝2+6(p-1)²≥2

与题p³+q³＝2，矛盾。

所以p+q＞2不成立，只能是p+q≤2。

说明  当用直接证法证明比较困难时可以用反证法。反证法的步骤首先是否定结论，要找准结论的反面，然后根据题设或定理公理推出矛盾，即结论的反面不成立。

例10  已知x²+y²＝1，x，y∈R

证明  ∵x²+y²＝1

由三角函数的有界性可得

换元法中应用三角函数，将代数式化成了三角式再结合三角公式以及三角函数中正、余弦函数的有界性，可以使证明简练。例2的证法四

例11  已知a，b，m∈R⁺，且a＜b，

分析  本题可以用比较法，综合法，分析法来证明，而且都比较容易，这里再介绍几种构造法证题。

证法一  利用函数的性质来说明

证法二  设点A(b，a)，

点B(-m，-m)，其中m＞0  ∵0＜a＜b，则(如图5-2)直线OA

∵B在第三象限角的平分线上，所以AB必与x轴的正半轴相交，

(责任编辑：汪春)