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高等教育自学考试高等数学（一）自测试卷
命题老师：张正
一、单项选择（本大题共40小题，每小题1分，共40分）
1．下列集合中为空集的是（ ）
A．{x||x|≤0} B．{x||x|＜0＝
C． D
2．设f（x）的定义域是[2，3]，则f（x＋2）的定义域是（ ）
A．[2，3] B．[0，1]
C．[4，5] D．[-1，0]
3．设 ，其中f（x）为（-∞，＋∞）内的奇函数，则F（x）（ ）
A．函数图象关于x轴对称
B．函数图象关于y轴对称
C．是奇函数
D．是偶函数
4．下列函数中是有界函数的为（ ）
A． （1≤x≤2）B． 
C． D．
5．设 ，则 （ ）
A． B．1＋x
C． D．
6．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7． （ ）
A．0B．1 C．-∞D．＋∞
8．设 ，则x＝1是函数的（ ）
A．连续点 B．可去间断点
C．跳跃间断点 D．无穷间断点
9．设在函数 ， 是 的不连续点是因为（ ）。
A． 在x＝0处无意义；
B． 在x＝0处极不存在；
C． 在x＝0处左右极限不等；
D． 在x＝0点极限不等于函数值。
10．在x趋向于（ ）时， 为无穷小量。
A．0B．1C．-1D．＋∞
11．某物体按规律 作直线运动，在t＝3时物体的运动速度为（ ）。
A．30 B．26C．22D．18
12．设 ，且极限 存在，则 （ ）。
A． B． C． D．
13．若 
A．0B．1C．lnaD．
14．若 ，是 （ ）
A． B． C．-1D．
15．设 ，则dy＝（ ）
A． B．
C． D．
16．函数 在 点可导，且 ， ，于是当 时有（ ）。
A．dy是Dy的高阶无穷小；
B．dy是Dy的同阶无穷小，但不是等价无穷小；
C．dy是Dy的等价无穷小；
D．dy是Dy的低阶无穷小。
17．设函数 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且 ，则：
A． B．
C． D．
18．函数 的图象在区间（-∞，1）是（ ）。
A．下凸 B．上凸 C．单调增 D．单调减
19．曲线 （ ）
A．仅有水平渐近线；
B．既有水平渐近线，又有铅直渐近线；
C．仅有铅直渐近线；
D．既无水平渐近线，又无铅直渐近线；
20．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是
A． ，[-1，1]B． ，[0，2]
C． ，[0，p] D． ，[0，1]
21．设 为可导函数，则 为（ ）。
A． B． C． D．
22．求不定积分 （ ）。
A． B．
C． D．
23．求不定积分 （ ）。
A． B．
C． D．
24．求不定积分 （ ）
A． B．
C． D．
25．设 是连续函数，且 ，则有________成立。
A． B．
C． D．
26．定积分 （ ）
A． B．
C． D．
27．定积分 （ ）。
A．2B．1 C．0D．-1
28．定积分 （ ）。
A．0B．1C． D．
29．下列广义积分收敛的是_________。
A． B．
C． D．
30．下列积分中，不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式的是（ ）。
A． B．
C． D．
31．若级数 收敛，则有（ ）
A．P ＞0 B．P ＜0 C．P ＞1D．P ＜1
32． （ ）。
A．1B．0C．＋∞ D．-∞
33．幂级数 的收敛区间是（ ）。
A．（-1，1） B．（-1，1）
C． ， D． ，
34．函数 展成x的幂级数是（ ）
A． ，（-1，1） B． ，（-5，5）
C． ，（-5，5） D． ，（-5，5）
35．设 ， ，则 ， （ ）
A． B．
C． D．
36．设二元函数 ，则 （ ）
A．dxB．dx＋dy
C．dyD．
37．设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
38．设D是矩形域0≤x≤1，-1≤y≤1，则 （ ）
A．1B．2 C．-1 D．0
39．微分方程 的阶数是（ ）
A．1B．2 C．3D．4
40．微分方程 满足条件 的特殊是（ ）
A．x＋y＝2B．
C．x＋y＝1D．
二、计算题（一）（本大题共3小题，每小题4分，共12分）
41．设函数
在x＝0处连续，求p、q之值。
42．求曲线 在M（1，1）处的切线方程。
43．求不定积分 。
三、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
44．求定积分 之值。
45．将 展为x之幂级数 。
46．通过交换积分顺序计算二次积分
47．求微分方程的通解：
四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
48．某产品需求函数Q＝100-5P，若生产该产品时的固定成本是50（百元），每生产一个产品成本增加2（百元），且工厂自产自销，产销平衡，求最大利润及此时的产量。
49．区域D由 ，x轴及x＝1围成，求（1）D绕x轴旋，所成旋转体的体积；（2）D绕y轴旋轴所成旋转体的体积。
五、证明题（本大题共4分）
设 是连续函数，
求证： =
高等数学（一）自测试卷详解
一、单项选择
1．解：A．{x||x|≤0}＝{0}，不是空集，有元素0。
B．{x||x| 0}是空集，因为没有满足条件的实数x。
答案：B
2．解：由于 的定义域是[2，3]，即2≤x≤3，
所以对于 来说，要求2≤x＋2≤3，
即 0≤x≤1
所以 的定义域为[0，1]。
答案：B
3．解：由于
由定义， 是奇函数
答案：C
4．解：A． 在区间[1，2]上是连续的，从而有界。
B． ，在 时，函数趋于无穷从而无界。
C． ，当 时，函数趋于无穷。
D．当 时， ，故函数无界。
5．解：令 ，则
由已知条件：
所以
答案：A
6．解：由常见的特殊极限我们知道：
答案：D
7．解：当 时，
∴
答案：C
8．解：
由于x＝1时，函数y没有定义，可知x＝1是y的间断点。因此排除A。
如果令函数在x＝1点取值为 ，则函数在x＝1点就连续。故x＝1是可去间断点。因此选B，排除C、D。
答案：B
9．解：因为 。
而
从而在 点， 的左，右极限存在且都等于零，于是极限存在且为0。
但是极限值与函数值不相等，从而不连续。
答案：D
10．解：∵ 
∴ 只有当x趋于0时y的极限才为0。
答案：A
11．解：∵ 
∴
答案：C
12．解：∵  ，
∴
答案：B
13．解： ，
 ，…，
∴ 
答案：D
14．解：这是由一个方程所确定的隐函数 ，方程两边关于x求导：
解得：
答案：A
15．解：由复合函数求导法则
∴ 
答案：D
16．解：∵  ，
∴  
∴ dy和Dy是等价无穷小量。
17．解：由于 在（0，1）可导，且 ，可知在（0，1）内 单调增加。
又由于 在[0，1]上连续，可知必有 。
答案：C
18．解：
令 ，得x＝1，
当x＜1时， ，函数曲线上凸。
当x＜0时， ，函数单调增。
当0＜x＜2时， ，函数单调减。
因此在x＜1时，函数不单调。
答案：B
19．解：∵ 
由此可知y＝1为曲线 的水平渐近线。
当x≠0时函数 是连续函数。
 （此因：当 时x是无穷小量， 是有界变量，有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量。）
因此 没有铅直渐近线。
答案：A
20．解：A、C、D的三个函数都在指定的闭区间上连续，对应的开区间内可导，因此都满足拉格朗日中值定理的条件。
B中的函数在x＝1点不可导，x＝1在指定区间里。因此函数在指定区间不满足拉格朗日中值定理。
答案：B
21．解：由不是积分的定义， 是 的原函数， 。
答案：A
22．解：由基本积分公式
答案：C
23．解： 
答案：D
24．解：方法一： 
方法二：做根式变换：令 ，则 ，dx＝2tdt
 
答案：D
25．解：
A．
B．
C．
D．
只有C正确。
答案：C
26．解：
答案：A
27．解：所给定积分区间是对称区间，应考虑被积函数的奇偶性。
由于被积函数 为奇函数，由定积分在对称区间上的性质可知
答案：C
28．解：被积函数形如 （n是自然数），应考虑分部积分，在积分中降低 的次数。
答案：B
29．解：无穷积分 ，当p＞1时收敛，当p≤1时积分发散。
A中 ，B中p＝1，D中 ，无穷积分都发散。
C中p＝2＞1,积分收敛。
答案：C
30．解：A．被积函数 是积分区间[0，4]上的连续数，从而可积。可以用牛顿—莱布尼兹公式求解。选项C、D同理。
B．被积函数 在积分区间的端点 处没有定义，且在这两点附近，被积函数无界。这是无界函数的广义积分，不能用牛顿—莱布尼兹公式直接求值。
答案：B
31．解：此级数是正项级数，
∵ 
所以级数 与级数 同时收敛同时发散。
级数 是p级数，当p＞1时收敛，当p≤1时发散。
所以级数 当p＞1时收敛，当p≤1时发散。
答案：C
32．解：由于 （-∞ x ＋∞）
∴  ，
∴
答案：A
33．解：级数可化为：
注意到对数函数 ，收敛区间为（-1，1]，
因此 ，-1＜2x≤1，
即收敛区间为 ，
答案：C
34．解：注意到等比级数，当 时， ，
∵  ，故，-5＜x＜5
答案：D
35．解：
答案：C
36．解：由于 ，
函数 的定义域为 ，
在z的定义域内， ， 为连续函数，因此dz存在，且
又由于
 ， ，
故
答案：A
37．解：
答案；B
38．解： 的值等于区域D的面积，故
答案：B
39．解：微分方程的阶数，是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
这里y的最高阶导数是二阶导数，故微分方程是二阶的。
答案：B
40．解：因为对A、C两边取微分，得：
显然A、C不正确
对B、D两边取微分，得：
 ，
两边除以xy，得：
又由于将（1，1）代入 等于2，故D正确。
答案：D
二、计算题（一）
41．解：为使函数 在x＝0处连续
∴p＝0
∴ q＝1
42．解：易知M（1，1）在曲线上，两边关于x求导：
解得：
将x＝1，y＝1代入上式
故切线方程为
化简为：
43．解：做变量替换，考虑到被积函数中有
设 ，则 ，
∴ 
44．解：令 ，则 ， ，
x： t：
于是：
45．解：将 展成幂级数
∵ 幂级数在收敛区间内可逐项求导，
∴ 
46．解：积分区域D为，0≤y≤1，
即为：0≤y≤1，
D的区域参见右图
∴ 
47．解（1）所给微分方程对应的齐次方程为
特征方程为： ；
特征根为：
∴ 齐次微分方程的通解为：
（2）在非齐次微分方程中，自由项 ，
 是二重特征根，故设特解：
将 代入原微分方程，整理后得：
比较同类项系数， ，B＝0
∴ 
∴ 原方程的通解为：
四、应用题
48．解：∵ Q＝100-5P
∴ 产品价格为：
产品成本：
生产Q件产品的产值：
纯利润：
 ，
Q＝45
∴ Q＝45时 有最大利润，此时
＝355（百元）
49．解：D的区域如右图，曲线 与直线x＝1交于（1，1）点。
（1）绕x轴旋转
（2）绕y轴旋轴
 等于x＝1，y＝1，x轴，y轴围成的矩形，绕y轴旋转成的旋转体体积 ，减去曲线 ，y＝1，y轴围成的图形绕y轴旋转所成旋轴体的体积 。
∴ 
五、证明题
证明：令 ，
则 ， ，
 ： ， ：
于是
=
=
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